18.4
空间向量的投影与投影向量
理解空间向量向直线、平面或另一向量投影的意义。
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01 · 出发点
一个空间向量沿指定方向贡献多少
一个空间向量沿指定方向产生多大作用，可由它在该方向上的投影刻画。投影数量带正负，投影向量则同时保留大小和指定方向。
向平面的正投影可理解为从原向量中去掉法向分量。直线投影与平面投影都依赖垂直分解和数量积。
02 · 概念
数量投影、投影向量与正交分解
a 在非零向量 b 方向上的投影数量为 a·b/|b|，投影向量为 [(a·b)/|b|^2]b。二者一个是标量，一个是与 b 平行的向量。
若平面法向量为 n，则 a 在法向方向的投影向量为 [(a·n)/|n|^2]n，a 在该平面内的投影向量为 a-[(a·n)/|n|^2]n。
03 · 方法
分解平行和垂直分量
- 01
明确要的是投影数量、投影长度还是投影向量，并确认指定方向向量非零。
- 02
计算数量积和方向向量模的平方，代入投影公式后完成数乘。
- 03
用“投影向量平行指定方向、剩余向量垂直指定方向”两个条件复核分解。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求 a=(3,4,0) 在 b=(1,1,0) 方向上的投影向量，并求与 b 垂直的剩余分量。
解
- 1
计算 a·b=3+4=7，|b|^2=1^2+1^2=2。
- 2
投影向量为 (7/2)b=(7/2,7/2,0)。
- 3
垂直分量 a-proj_b a=(-1/2,1/2,0)，它与 b 的数量积为 -1/2+1/2=0。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 投影数量是标量，投影向量平行于指定方向。
- 投影向量系数为 (a·b)/|b|^2。
- 原向量减去投影向量后得到与指定方向垂直的分量。