3.5
不等式的应用
把范围、最值和实际约束转化为不等式问题。
本文章目录
01 · 出发点
把实际限制转成范围与最值
材料、成本、容量和速度等实际条件常以“不超过”“至少”或“尽可能大”的形式出现。不等式负责描述可行范围，也能为方案提供可证明的最优界。
建模时既要计算数学解，也要回到情境检查长度为正、数量为整数等限制。脱离单位和实际定义域的答案，即使代数运算正确也可能没有意义。
02 · 概念
变量、约束与目标量
不等式应用题通常包含决策变量、约束条件和目标量。先用变量表示未知量，再把资源限制写成等式或不等式，最后在可行域中研究目标量。
最优值可以通过基本不等式、二次函数或单调性获得。无论采用哪种方法，都应写清等号成立或顶点落入可行域的条件。
03 · 方法
建立并检验不等式模型
- 01
选取变量并注明单位和实际范围，把关键词翻译为等式或不等式约束。
- 02
用变量表示目标量，选择基本不等式、配方或函数图象确定其界。
- 03
核验取等方案满足全部约束，并用实际语言回答数量、单位和方案。
04 · 例题
把方法落到具体问题
用 20 m 长的围栏围成一个矩形，四边都使用围栏。矩形面积最大是多少？
解
- 1
设相邻边长为 x m、y m，则 x>0、y>0，且 2(x+y)=20，所以 x+y=10。
- 2
由基本不等式 xy≤[(x+y)/2]²=25，因此面积不超过 25 m²。
- 3
等号要求 x=y，结合 x+y=10 得 x=y=5，确实满足围栏长度限制。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 应用建模要区分变量、约束与目标。
- 可行范围由代数条件和实际条件共同决定。
- 最优方案必须达到所证明的界并带有正确单位。