7.7
正切函数的图象与性质
理解正切函数的定义域、周期性、单调性和渐近特征。
本文章目录
01 · 出发点
周期为半周且带有间断边界的三角函数
正切是正弦与余弦的比。当余弦趋近于 0 时，正切的绝对值会不断增大，因此图象被若干竖直边界分成重复的支。
每一支上正切函数都严格递增，并遍历全部实数。它的最小正周期是 π，这与正弦、余弦的 2π 周期不同。
02 · 概念
定义域、周期与单调区间
y=tan x 的定义域为 {x∈R|x≠π/2+kπ，k∈Z}，值域为 R。函数是奇函数，图象关于原点以及各个零点中心对称。
正切函数最小正周期为 π，在每个区间 (-π/2+kπ,π/2+kπ) 上严格递增。区间端点是无定义位置，不属于图象。
03 · 方法
研究正切图象和方程
- 01
先写定义域，标出 x=π/2+kπ 的无定义边界和 x=kπ 的零点。
- 02
在一个基本区间 (-π/2,π/2) 内利用关键点描出递增分支，再按 π 周期延拓。
- 03
解 tan x=t 时先找一个基本解，再加 kπ，并筛选题目给定范围。
04 · 例题
把方法落到具体问题
解方程 tan x=1，x∈[0,2π)。
解
- 1
在基本区间内 tan(π/4)=1，所以一个基本解为 π/4。
- 2
正切周期为 π，全体解为 x=π/4+kπ，k∈Z。
- 3
筛选 [0,2π)，取 k=0、1，得到 π/4 和 5π/4。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 正切函数排除所有余弦为零的输入。
- 正切值域为 R，最小正周期为 π。
- 每个连续分支上严格递增，但整个定义域不是一个区间。