18.8
空间距离的计算
用投影和法向量计算点到直线、点到平面、平行直线与平行平面间距离。
本文章目录
01 · 出发点
最短距离对应哪一个垂直方向
空间距离问题的共同本质是寻找最短线段。点到平面的最短线段沿法向，点到直线的最短线段垂直于直线，平行对象之间的距离可转化为任一点到另一对象的距离。
向量投影把“最短”转化为分解：沿法向或公垂线方向的分量给出距离，留在直线或平面方向内的分量不贡献垂直距离。
02 · 概念
点线、点面与平行对象距离
点 P(x_0,y_0,z_0) 到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离为 |Ax_0+By_0+Cz_0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。它是位移在单位法向量方向上投影长度的绝对值。
点 P 到过 A、方向向量为 s 的直线距离，可将 AP 分解并计算 |AP-proj_s AP|。平行直线、平行平面之间的距离可任选一点化为点到直线或点到平面的距离。
03 · 方法
用投影和法向量计算距离
- 01
判断距离类型，选定一个方便的点、方向向量或平面法向量，并写出所需位移。
- 02
使用投影分解或点到平面公式计算垂直分量的长度，保留绝对值和非零条件。
- 03
必要时求垂足并代回对象方程，检查连接向量确实垂直且距离非负。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求点 P(1,2,4) 到平面 α:2x-y+2z-6=0 的距离，并求垂足 H。
解
- 1
平面法向量 n=(2,-1,2)，|n|=3；将 P 代入左端得 2-2+8-6=2。
- 2
距离 d=|2|/3=2/3。沿法向修正系数为 2/|n|^2=2/9，所以 H=P-(2/9)n。
- 3
算得 H=(5/9,20/9,32/9)；代入平面方程为 0，且 PH=|(2/9)n|=2/3。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 空间距离是相应垂直方向上的最短长度。
- 点到平面距离由点代入平面方程并按法向量长度归一化得到。
- 投影分解统一处理点到直线、点到平面及平行对象间距离。