5.5
对数函数
利用反函数关系理解对数函数的图象与性质。
本文章目录
01 · 出发点
指数函数的反向对应形成对数函数
指数函数 y=a^x 把指数映射为正数；交换输入输出后，就得到 y=log_a x。两者互为反函数，图象关于直线 y=x 对称。
由于指数函数的值始终为正，对数函数只能接收正数输入。底数同样决定单调方向，并可用于解对数方程和不等式。
02 · 概念
对数函数的图象与单调性
y=log_a x（a>0，a≠1）的定义域为 (0,+∞)，值域为 R，图象经过 (1,0)。当 x 从正侧趋近 0 时，图象靠近直线 x=0。
当 a>1 时函数严格递增；当 0<a<1 时函数严格递减。比较两个同底对数前，必须先保证各真数为正。
03 · 方法
解对数方程或不等式
- 01
先列出所有真数大于 0 的定义域条件。
- 02
把两边化为同底对数，依据底数范围使用递增或递减性质比较真数。
- 03
解代数不等式并与定义域取交集，再代入边界检查。
04 · 例题
把方法落到具体问题
解不等式 log₂(x-1)≤2。
解
- 1
真数必须为正，所以 x-1>0，即 x>1。
- 2
把 2 写成 log₂4；因为底数 2>1，对数函数递增，故 x-1≤4。
- 3
由 x≤5，再与 x>1 取交集，得到 1<x≤5。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
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本节小结
- 对数函数定义域为正实数、值域为 R。
- 它与同底指数函数互为反函数。
- 解对数关系要先定域，再使用单调性。