16.3
两条直线的位置关系
利用斜率或一般式系数判断平行、垂直与相交。
本文章目录
01 · 出发点
方向和交点决定两直线关系
平面内两条直线可能相交、平行或重合；相交时还可能互相垂直。坐标方程把这些几何关系转化为斜率或系数关系。
斜率法直观但不能直接覆盖竖直线，一般式系数判定则更统一。判断平行时还要区分没有公共点的平行线与公共点无穷多的重合线。
02 · 概念
平行、垂直与重合的代数条件
斜率都存在时，k_1=k_2 表示平行或重合，k_1k_2=-1 表示垂直。一般式 A_ix+B_iy+C_i=0 中，A_1B_2-A_2B_1=0 表示方向平行。
一般式直线垂直的条件为 A_1A_2+B_1B_2=0。若方向系数成比例，还需比较常数项：三个系数整体成比例则重合，否则平行。
03 · 方法
联立方程判定位置关系
- 01
先观察是否有竖直线；斜率均存在时可用斜率，否则转用一般式系数。
- 02
判断方向：比较斜率、计算斜率乘积，或计算两个系数判定式。
- 03
若方向平行，继续检查是否重合；若相交，联立方程可求交点并验证。
04 · 例题
把方法落到具体问题
判断 l_1:2x-y+3=0 与 l_2:x+2y-4=0 的关系，并求交点。
解
- 1
两直线一般式系数分别为 (2,-1) 与 (1,2)，内积 2×1+(-1)×2=0，所以两直线垂直。
- 2
由 l_1 得 y=2x+3，代入 l_2：x+2(2x+3)-4=0，即 5x+2=0。
- 3
解得 x=-2/5，y=2(-2/5)+3=11/5；代回 l_2 得 -2/5+22/5-4=0。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 斜率法适合非竖直直线，一般式系数法覆盖所有方向。
- 方向相同后还需用常数项区分平行与重合。
- 一般式法向量内积为零等价于两直线垂直。