两条直线的位置关系

利用斜率或一般式系数判断平行、垂直与相交。

约 12 分钟直线与圆

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01 · 出发点

方向和交点决定两直线关系

平面内两条直线可能相交、平行或重合；相交时还可能互相垂直。坐标方程把这些几何关系转化为斜率或系数关系。

斜率法直观但不能直接覆盖竖直线，一般式系数判定则更统一。判断平行时还要区分没有公共点的平行线与公共点无穷多的重合线。

02 · 概念

斜率都存在时， $k_1=k_2$ 表示平行或重合， $k_1k_2=-1$ 表示垂直。一般式 $A_ix+B_iy+C_i=0$ 中， $A_1B_2-A_2B_1=0$ 表示方向平行。

一般式直线垂直的条件为 $A_1A_2+B_1B_2=0$ 。若方向系数成比例，还需比较常数项：三个系数整体成比例则重合，否则平行。

03 · 方法

04 · 例题

判断 $l_1:2x-y+3=0$ 与 $l_2:x+2y-4=0$ 的关系，并求交点。

解

1
两直线一般式系数分别为 $(2,-1)$ 与 $(1,2)$ ，内积 $2\times1+(-1)\times2=0$ ，所以两直线垂直。
2
由 $l_1$ 得 $y=2x+3$ ，代入 $l_2$ ： $x+2(2x+3)-4=0$ ，即 $5x+2=0$ 。
3
解得 $x=-\dfrac25$ ， $y=2(-\dfrac25)+3=\dfrac{11}5$ ；代回 $l_2$ 得 $-\dfrac25+\dfrac{22}5-4=0$ 。

05 · 辨析

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