5.3
指数函数
根据底数分类研究指数函数的图象、单调性和取值范围。
本文章目录
01 · 出发点
自变量位于指数位置时产生倍增或衰减
本金按固定比例增长、物质按固定半衰期衰减，都具有“每经过相同时间乘同一个倍数”的特征。指数函数用自变量作为指数来描述这种变化。
底数 a 的大小决定增长方向：a>1 时随 x 增大而增长，0<a<1 时随 x 增大而衰减。两类图象都经过 (0,1)，函数值始终为正。
02 · 概念
指数函数的定义与性质
函数 y=a^x（a>0 且 a≠1）定义域为 R，值域为 (0,+∞)。图象经过 (0,1)，不与 x 轴相交，并以 y=0 为水平渐近趋势。
当 a>1 时函数严格递增；当 0<a<1 时函数严格递减。同底数指数式比较大小，可利用这一单调性把函数值关系转为指数关系。
03 · 方法
求解和比较指数式
- 01
尽量把等式或不等式两边化为同一正底数的幂。
- 02
根据底数大于 1 还是介于 0 与 1 之间，决定指数大小关系同向还是反向。
- 03
若来自实际模型，解释单位时间倍率，并检查时间、数量等变量范围。
04 · 例题
把方法落到具体问题
解方程 2^(x+1)=8，并说明对应图象交点。
解
- 1
把 8 写成 2³，方程变为 2^(x+1)=2³。
- 2
指数函数 y=2^t 严格递增，因此相同函数值对应相同指数，得到 x+1=3。
- 3
解得 x=2，代回左边 2³=8，等式成立。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
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本节小结
- 指数函数定义域为 R、值域为正实数。
- 底数大于 1 时递增，介于 0 与 1 时递减。
- 同底数化简和单调性是解指数关系的核心。