事件独立性、乘法公式与全概率公式

01 · 出发点

乘法公式与独立性回答两个不同问题

两个事件同时发生的概率可以从“先发生 B，再在 B 条件下发生 A”来计算。这个分步观点给出概率乘法公式，并不要求两个事件独立。

事件 A、B 相互独立的无条件定义是 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。当 $P(B)>0$ 时，它等价于 $P(A\mid B)=P(A)$；若 $P(B)=0$，条件概率无定义，但无条件定义仍然适用。

02 · 概念

乘法公式、独立性与全概率公式

当 $P(B)>0$ 时，由条件概率定义得到 $P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$。若 A、B 独立，交概率可直接写成 $P(A)P(B)$。

若 $B_1,\ldots,B_n$ 两两互斥、并为全集且各自概率为正，那么 A 可按原因 $B_i$ 分解，全概率公式把各路径概率 $P(B_i)P(A\mid B_i)$ 相加；零概率分组应先剔除。

03 · 方法

先画路径，再选公式

1. 01

   把试验按阶段或原因画成树状路径，沿同一路径使用乘法。

2. 02

   只有题目给出或能够证明独立时，才把条件概率替换为边缘概率。

3. 03

   多个互斥路径通向同一结果时，使用加法得到全概率。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界