21.2
样本相关系数
用样本相关系数量化线性相关程度，并理解它与标准化数据向量夹角的关系。
本文章目录
01 · 出发点
用标准化后的共同变化度量线性相关
散点图能够直观判断线性趋势，但比较不同量纲的数据时，还需要一个不受单位影响的数量指标。样本相关系数 r 把两变量的共同变化标准化到 -1 与 1 之间。
r 的符号表示线性趋势方向，绝对值表示点云贴近某条直线的程度。它只衡量线性相关，明显的曲线关系可能得到接近 0 的 r。
02 · 概念
相关系数的范围与几何意义
把中心化数据写成向量 x_c=(x_i-x̄)、y_c=(y_i-ȳ)。当两个向量都非零时，r 等于它们夹角 θ 的余弦，因此 |r|≤1；若任一变量为常数，离差平方和为 0，r 没有定义。
相关系数不随正向单位换算而改变，但对离群点敏感。判断相关强弱时要同时查看散点图，而不能机械套用固定阈值。
03 · 方法
计算之后必须回到图形解释
- 01
计算两变量均值及各观测对均值的偏差。
- 02
求偏差乘积和以及两组偏差平方和，代入公式。
- 03
结合散点图解释符号、绝对值，并检查离群点与非线性形态。
04 · 例题
把方法落到具体问题
成对数据为 (1,2)、(2,4)、(3,6)，求样本相关系数。
解
- 1
均值为 x̄=2、ȳ=4，两组偏差分别为 (-1,0,1) 与 (-2,0,2)。
- 2
偏差乘积和为 4；两组偏差平方和分别为 2 和 8。
- 3
代入 r=4/√(2×8)=1，也可观察到三点都在 y=2x 上。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 相关系数度量两个变量的线性相关方向和强度。
- r 位于 [-1,1]，绝对值越接近 1，线性趋势越明显。
- 相关系数必须与散点图和数据背景一起解释。