20.5
随机变量的均值与方差
用均值和方差描述随机变量的中心与波动。
本文章目录
01 · 出发点
用两个数字概括随机变量的中心与波动
两个游戏可能有相同的平均收益，却有完全不同的风险。均值描述长期重复中的平均水平，方差描述取值围绕均值的分散程度。
随机变量的均值是各取值按概率加权的平均数；方差则把每个取值与均值的偏差平方后再加权。平方使正负偏差不会相互抵消。
02 · 概念
均值、方差与标准差
离散型随机变量 X 的均值 E(X)=Σx_ip_i。方差 D(X)=Σ(x_i-E(X))²p_i，也可用 E(X²)-[E(X)]² 计算。
线性变换 Y=aX+b 满足 E(Y)=aE(X)+b、D(Y)=a²D(X)。平移改变中心但不改变波动，伸缩会使方差按倍数平方变化。
03 · 方法
从分布列到数字特征
- 01
先核对分布列完整，再计算各取值与概率的乘积之和得到均值。
- 02
计算偏差平方的加权和，或使用 E(X²)-[E(X)]² 求方差。
- 03
结合实际单位解释中心和波动，不只停留在计算结果。
04 · 例题
把方法落到具体问题
随机变量 X 取 0、2，概率分别为 1/4、3/4，求 E(X) 与 D(X)。
解
- 1
均值 E(X)=0×1/4+2×3/4=3/2。
- 2
计算 E(X²)=0²×1/4+2²×3/4=3。
- 3
利用 D(X)=E(X²)-[E(X)]²=3-(3/2)²。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 均值描述随机变量的长期平均水平。
- 方差和标准差描述随机变量的波动程度。
- 线性变换对均值和方差的影响不同。